*** Suite récurrente définie par une fonction décroissante

On considère la suite $(u_n)$  définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel  $n$ , par 
$u_{n+1}=-{\displaystyle \frac{2}{3}{u}_n+5}$ .
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la droite $(d)$  représentant la fonction $f$  définie sur $\mathbb{R}$  par $f(x)=-{\displaystyle \frac{2}{3}x+5}$  ainsi que la droite $(\mathrm{\Delta })$  d'équation $y=x$ .

1. a. Sur le graphique précédent, représenter les premiers termes de la suite $(u_n)$ .
    b. Quelle conjecture peut-on faire sur la monotonie de $(u_n)$  ? S ur sa convergence ?
    c. On considère la suite $(v_n)$  formée des termes de rang pair. Ainsi $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ , $v_n=u_{2n}$ . Que peut-on conjecturer sur la monotonie de $(v_n)$  ? S ur sa convergence ?
    d. On considère la suite $(w_n)$  formée des termes de rang impair. Ainsi $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ , $w_n=u_{2n+1}$ . Que peut-on conjecturer sur la monotonie de $(w_n)$  ? S ur sa convergence ?

2. a. Calculer $v_0$  et $v_1$ .
    b. Montrer que $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ , $v_{n+1}={\displaystyle \frac{4}{9}{v}_n+{\displaystyle \frac{5}{3}}}$ .
    c. Montrer que $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ , $v_n⩽v_{n+1}⩽3$ .
    d. En déduire que la suite $(v_n)$  converge et calculer sa limite.

3. a. Calculer $w_0$  et $w_1$ .
    b. En prenant modèle sur la question 2. , montrer que la suite $(w_n)$  est convergente et calculer sa limite.

4. Conclure quant à la convergence de la suite $(u_n)$ .