*** Suite récurrente définie par une fonction décroissante

On considère la suite `(u_n)`  définie par `u_0=0` et, pour tout entier naturel  `n` , par 
\(u_{n+1}=-\displaystyle\frac{2}{3}u_n+5\) .
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la droite `(d)`  représentant la fonction `f`  définie sur `\mathbb{R}`  par \(f(x)=-\displaystyle\frac{2}{3}x+5\)  ainsi que la droite \((\Delta)\)  d'équation `y=x` .

1. a. Sur le graphique précédent, représenter les premiers termes de la suite `(u_n)` .
    b. Quelle conjecture peut-on faire sur la monotonie de `(u_n)`  ? S ur sa convergence ?
    c. On considère la suite `(v_n)`  formée des termes de rang pair. Ainsi `\forall n \in \mathbb{N}` , `v_n=u_{2n}` . Que peut-on conjecturer sur la monotonie de `(v_n)`  ? S ur sa convergence ?
    d. On considère la suite `(w_n)`  formée des termes de rang impair. Ainsi `\forall n \in \mathbb{N}` , `w_n=u_{2n+1}` . Que peut-on conjecturer sur la monotonie de `(w_n)`  ? S ur sa convergence ?

2. a. Calculer `v_0`  et `v_1` .
    b. Montrer que `\forall n \in \mathbb{N}` , \(v_{n+1}=\displaystyle\frac{4}{9}v_n+\displaystyle\frac{5}{3}\) .
    c. Montrer que `\forall n \in \mathbb{N}` , \(v_n \leqslant v_{n+1} \leqslant 3\) .
    d. En déduire que la suite `(v_n)`  converge et calculer sa limite.

3. a. Calculer `w_0`  et `w_1` .
    b. En prenant modèle sur la question 2. , montrer que la suite `(w_n)`  est convergente et calculer sa limite.

4. Conclure quant à la convergence de la suite `(u_n)` .